Умный поиск

Clipart 1920x320 | PBL-курс "Расчет стройконструкций с нуля"

Цикл статей "Как рождается архитектура" | Dystlab Library

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям

Эта статья является частью проектного курса Расчет строительных конструкций с нуля, который обучает слушателя правильному выбору расчетных схем, сбору нагрузок, моделированию и расчету строительных конструкций. Применение САПР в рамках курса сознательно сведено к минимуму, чтобы слушатель понял алгоритм проектных действий и научился проектировать элементы конструкции "вручную". Курс стартует уже скоро, узнавайте новости первыми — присоединяйтесь к группе нашего Сообщества!

Программа курса

  1. Основные задачи инженера-расчетчика
  2. Как не бояться проектировать?
  3. Готовимся к проверкам по предельным состояниям
  4. Нагрузки и воздействия
  5. Сочетания нагрузок
  6. Как отследить наиболее опасное положение нагрузки?
  7. Армирование железобетонной балки. Расчет ЖБК на действие изгибающего момента
  8. Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям
  9. Основы расчета металлических конструкций
  10. Основы усиления зданий и сооружений

Изгибающий момент — враг № 1 для большинства конструкций, пребывающих в состоянии изгиба. Однако беда не приходит одна, и вместе с моментом в изгибаемых элементах обычно возникает еще один грозный силовой фактор — поперечная сила.

При неправильном проектировании поперечная сила может стать причиной быстрого развития трещин и даже разрушения конструкции. Иногда складывается впечатление, что трещины — хаотичное, беспорядочное явление в железобетонных конструкциях, и появляются они где попало. Однако науке хорошо известны механизмы появления трещин от совместного воздействия изгибающих моментов и поперечных сил, поэтому предупреждение этих явлений уже давно перешло в разряд стандартных инженерных проверок по нормам проектирования.

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 7.1 Трещины в железобетонной балке

Расчет ЖБК на действие поперечных сил относится к первой группе предельных состояний (проверка прочности) и обязателен для всех типов изгибаемых элементов (балок, плит).

Физика процесса

Давайте проанализируем, что происходит в железобетонной балке при совместном действии изгибающего момента и поперечной силы. На рисунке 7.2 показан тренд развития трещин:

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 7.2 Тренд развития наклонных трещин в ЖБ-балке

Обратите внимание: под действием нагрузки трещины устремляются от опоры к середине пролета, снизу вверх, поэтому их еще называют наклонными, а сам расчет — расчетом по наклонным сечениям.

Чтобы понять механику процесса, давайте рассмотрим картину напряжений. Проведем в какой-нибудь точке (вблизи опоры) нормальное сечение, убрав из рассмотрения правую часть конструкции и заменив ее соответствующими напряжениями (рисунок 7.3). Напомню, что напряжением мы называем усилие, распределенное по площади соприкасаемых поверхностей тела. В  данном случае, напряжения как бы “удерживают” две рассеченные части балки: верхняя зона балки испытывает сжатие, нижняя — растяжение. Соответственно, в верхней грани бетона появятся сжимающие напряжения (знак “–”), а в нижней — растягивающие (знак “+”):

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 7.3 Сжимающие и растягивающие напряжения в сечении железобетонной балки

Используя осевые напряжения \({\sigma _x}\) и \({\sigma _z}\), переходим к главным (максимальным) растягивающим \({\sigma _{mt}}\) и сжимающим \({\sigma _{mc}}\) напряжениям:

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 7.4 Главные напряжения в сечении железобетонной балки

Направление осей принято следующим: ось \(x\) совпадает с нейтральной осью балки, ось \(y\) — ось изгиба, ось \(z\) — вертикальная. Главные напряжения определяем через известную формулу сопротивления материалов:

\({\sigma _{mt\left( {mc} \right)}} = \frac{{{\sigma _x} + {\sigma _y}}}{2} \pm \sqrt {\frac{{{{\left( {{\sigma _x} + {\sigma _y}} \right)}^2}}}{4} + \tau _{xz}^2} \), (7.1)

где \({\tau _{xz}}\) — касательное напряжение.

Напряжением \({\sigma _z}\) в расчетах, как правило, пренебрегают (если, конечно, конструкция не нагружена поперечной нагрузкой, соизмеримой по величине с вертикальной). Тогда формула для определения главных напряжений примет вид:

\({\sigma _{mt\left( {mc} \right)}} = \frac{{{\sigma _x}_y}}{2} \pm \sqrt {\frac{{{\sigma _x}^2}}{4} + \tau _{xz}^2} \). (7.2)

Формулы для определения нормального и касательного напряжений имеют вид:

\({\sigma _x} = \frac{M}{W} = \frac{{M \cdot z}}{{{J_y}}};\quad {\tau _{xz}} = \frac{{Q \cdot S}}{{{J_y} \cdot b}}\), (7.3)

где

  • \(Q\), \(M\) — поперечная сила [кН] и изгибающий момент [кНм], действующие в данном сечении, соответственно;
  • \({J_y}\) — главный центральный момент инерции, вычисленный относительно оси \(y\) поперечного сечения балки, м4;
  • \(z\) — расстояние от центра тяжести сечения до точки, в которой определяется напряжение \({\sigma _x}\) (по высоте сечения), м;
  • \(S\) — статический момент поперечного сечения, м3;
  • \(b\) — ширина поперечного сечения, м.

Формулы (7.3) можно использовать как базовые при расчете ЖБК с произвольной формой сечения. Обратите внимание, что геометрические характеристики определяются в данном случае только для бетонного сечения, без учета арматуры.

В качестве примера рассмотрим прямоугольное сечение, как наиболее часто встречающееся в балочных и плитных конструкциях.

Расчет балки прямоугольного сечения по наклонным сечениям

Для балки прямоугольного сечения на уровне нейтральной оси напряжение \({\sigma _x}\) равно нулю (см. рис. 7.3), поэтому главные напряжения будут полностью определяться напряжениями касательными:

\({\sigma _{mt}} =  - {\sigma _{mc}} = {\tau _{xz}} = \frac{{Q \cdot S}}{{{J_y} \cdot b}}\). (7.4)

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 7.5 Эпюра касательных напряжений в прямоугольном сечении балки

Решая уравнение (7.4) относительно поперечной силы и заменяя знак “=” неравенством, приходим к проверке прочности:

\(Q \le \frac{{{\tau _{xz}}{J_y}b}}{S}\). (7.5)

Вычислим отношение \({J_y}/S\):

\(\frac{{{J_y}}}{S} = \frac{{b{h^3}}}{{12}} \cdot \frac{8}{{b{h^2}}} = \frac{8}{{12}}h \approx 0,667h\). (7.6)

В различных нормативных и справочных документах (например, [1, 2]) данный геометрический параметр заменяют рабочей высотой сечения \({h_0}\), то есть расстоянием от центра тяжести рабочей арматуры до наиболее сжатого волокна балки:

\(\frac{{{J_y}}}{S} \approx {h_0}\). (7.7)

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 7.6 Рабочая высота сечения балки

Разрушение конструкции (первое предельное состояние) наступит в случае, если напряжение \({\tau _{xz}}\) достигнет:

  • расчетного сопротивления бетона сжатию \({R_b}\)
  • расчетного сопротивления бетона растяжению \({R_{bt}}\)

\({\tau _{xz}} = {R_b};\quad {\tau _{xz}} = {R_{bt}}\). (7.8)

Условие прочности (7.5) с учетом (7.7), (7.8) примет вид:

\(Q \le {R_b}b{h_0};\quad Q \le {R_{bt}}b{h_0}\). (7.9)

На этих зависимостях основаны проверки прочности, непосредственно входящие в нормы проектирования.

Почему продольной арматуры обычно недостаточно?

Продольную арматуру располагают так, чтобы поперечное сечение каждого арматурного стержня было перпендикулярно оси балки и сопротивлялось изгибающему моменту (рисунок 7.7):

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 7.7 Продольная арматура воспринимает изгибающие моменты M

Но проблема заключается в том, что продольная арматура малоэффективна в сопротивлении поперечным силам. Из-за продольной ориентации, стержни рабочей арматуры могут воспринимать поперечные силы только по высоте своего сечения, а это — крайне малый вклад в несущую способность конструкции. Требуется более эффективное решение, и этим решением при проектировании железобетонных конструкций обычно выступает поперечная арматура (рисунок 7.8).

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 7.8 Поперечная арматура воспринимает поперечные силы Q

Типовые решения поперечной арматуры

Элементами, способными воспринимать поперечные силы в железобетонных конструкциях, являются:

  • хомуты
  • отгибы ненапрягаемой арматуры
  • оттяжки напрягаемой арматуры

Хомут представляет собой, как правило, прямоугольник из арматурной стали малого диаметра (обычно, 8 или 10 мм), который охватывает по периметру рабочую арматуру и повторяет контур сечения балки (рисунок 7.9). Наиболее распространены балочные конструкции с двумя вертикальными хомутами, расположенными симметрично по обе стороны сечения.

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 7.9 Хомуты в ЖБК

Шаг хомутов может быть принят постоянным по длине балки, но с точки зрения экономии материала более целесообразно “разрядить” установку хомутов от опоры к пролету, в соответствии с эпюрой поперечных сил.

Отгибы стержней в последнее время применяются все реже, хотя это — достаточно эффективный способ восприятия поперечных сил на приопорных участках железобетонных конструкций (рисунок 7.10).

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 7.10 Отгибы ненапрягаемой арматуры

Отгиб представляет собой изменение геометрии изначально горизонтального стержня арматуры. Таким образом, в сечении появляются дополнительные арматурные “вкрапления”, повышающие общую несущую способность конструкции.

В некоторых конструкциях из предварительно напряженного железобетона горизонтальные пучки арматуры могут также менять геометрию. Данная технология по принципу действия, в целом, аналогична отгибам обычной арматуры (рисунок 7.11).

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 7.11 Оттяжки напрягаемой арматуры

Расчет наклонных сечений по СНиП

Прежде чем говорить о расчете прочности на поперечную силу в соответствии с нормативными документами, нужно определиться, о каком сечении железобетонного изделия идет речь. Проверку по изгибающему моменту выполняют в нормальном (перпендикулярном оси балки) сечении, а расчет на действие поперечных сил проводят по модели наклонных сечений. Следуя актуализированным версиям норм проектирования ЖБК (например, [1]), необходимо выполнить три основные проверки:

  • проверка прочности бетонного участка между двумя соседними трещинами
  • проверка прочности по наклонной трещине на действие поперечной силы
  • проверка прочности по наклонной трещине на действие изгибающего момента

Проверка прочности полосы между наклонными сечениями

Когда под действием предельных нагрузок в железобетонной балке образуются две соседние наклонные трещины, бетон между ними на определенном участке испытывает сжатие (рисунок 7.12).

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 7.12 Зона сжатия бетона в момент образования наклонной трещины

В нормах проектирования [1] проверка прочности выглядит следующим образом:

\(Q \le {\varphi _{b1}} \cdot {R_b} \cdot b \cdot {h_0}\), (7.10)

где

  • \(Q\) — поперечная сила в нормальном сечении элемента, кН;
  • коэффициент \({\varphi _{b1}} = 0,3\).

Расчет наклонного сечения на действие поперечной силы

Проверка прочности наклонного сечения по поперечной силе имеет вид:

\(Q \le {Q_b} + {Q_{sw}}\), (7.11)

где

  • \(Q\) — максимальная поперечная сила в наклонном сечении, кН (из эпюры);
  • \({Q_b}\) — несущая способность бетона (усилие в бетоне), кН;
  • \({Q_{sw}}\) — несущая способность хомутов (усилие в хомутах), кН.

Усилие в бетоне определяем по формуле:

\({Q_b} = \frac{{{\varphi _{b2}} \cdot {R_{bt}} \cdot b \cdot h_0^2}}{c}\), (7.12)

где

  • коэффициент \({\varphi _{b2}} = 1,5\);
  • \({R_{bt}}\) — расчетное сопротивление бетона растяжению, МПа;
  • \(b\) — ширина сечения балки, мм;
  • \({h_0}\) — рабочая высота балки, мм;
  • \(c\) — длина проекции наклонного сечения на горизонтальную ось, мм.

При этом необходимо, чтобы усилие в бетоне находилось в пределах

\(0,5{R_{bt}}b{h_0} \le {Q_b} \le 2,5{R_{bt}}b{h_0}\). (7.13)

Схема распределения усилий в наклонном сечении показана на рисунке 7.13. Здесь нас интересуют проекции сил на вертикальную ось \(z\).

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 7.13 Усилия в наклонном сечении железобетонной балки с хомутами

В ответ на поперечную силу \(Q\) бетон реагирует усилием \({Q_b}\), а в хомутах возникает распределенное (по горизонтали) усилие \({q_{sw}}\):

\({q_{sw}} = \frac{{{R_{sw}}{A_{sw}}}}{s}\), (7.14)

где

  • \({{R_{sw}}}\) — расчетное сопротивление арматуры хомутов растяжению, МПа;
  • \({{A_{sw}}}\) — площадь поперечного сечения хомутов, мм2;
  • \(s\) — шаг расстановки хомутов на участке с данным наклонным сечением, мм.

Поскольку у вершины наклонной трещины напряжения могут быть ниже предельных, расчетное сопротивление растяжению для поперечной арматуры рекомендуется снижать на 20% от величины \({{R_s}}\) [2]:

\({R_{sw}} = 0,8{R_s}\). (7.15)

Площадь \({{A_{sw}}}\) вычисляется по количеству ветвей хомутов, попадающих в нормальное сечение. Обычно армирование балок предполагает два хомута в сечении, но для широких (например, плитных) конструкций могут применяться 4 ветви и более:

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 7.14 Варианты поперечного армирования и площадь сечения хомутов

Суммарное сосредоточенное усилие в поперечной арматуре определяем через интенсивность усилия во всех хомутах и длину проекции наклонного сечения:

\({Q_{sw}} = {\varphi _{sw}} \cdot {q_{sw}} \cdot c\), (7.16)

где коэффициент \({\varphi _{sw}} = 0,75\).

В случае, если вместо хомутов (или совместно с хомутами) используются отгибы или оттяжки горизонтальной арматуры, то к правой части неравенства (7.11) добавляется еще одно слагаемое:

\(Q \le {Q_b} + {Q_{sw}} + {Q_{s,inc}}\), (7.17)

где \({Q_{s,inc}}\) — общее усилие в отгибах, кН, определяемое как сумма усилий во всех отгибах, пересекающих наклонное сечение:

\({Q_{s,inc}} = \sum {{R_{sw}}{A_{s,inc}}\sin \theta } \), (7.18)

где

  • \(\theta \) — угол наклона отгиба (оттяжки) к горизонтали; как правило, для отгибов близок к 45°;
  • \({{A_{s,inc}}}\) — площадь поперечного сечения отгибов.

По сути, проектировщик может либо проверить прочность наклонного сечения для запроектированной конструкции с отгибами, либо решить уравнение (7.17) относительно \({{A_{s,inc}}}\) и подобрать требуемую площадь отгибов для конкретной балки.

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 7.15 Усилие в отгибе продольной арматуры

Расчет наклонного сечения на действие изгибающего момента

Прочность железобетонной конструкции в наклонном сечении при действии изгибающего момента обеспечена, если выполняется условие

\(M \le {M_s} + {M_{sw}}\), (7.19)

где

  • \(M\) — изгибающий момент от внешней нагрузки, кНм;
  • \({M_s}\) — момент в продольной арматуре, кНм;
  • \({M_{sw}}\) — момент в поперечной арматуре, кНм.

Данную проверку сопровождают две геометрические схемы. Рисунок 7.16 иллюстрирует сценарий, когда сжатие испытывает верхняя часть балки. Моментная точка \(O\) при этом располагается в центре сжатой зоны бетона, высота которой определяется так же, как при расчете нормального сечения на действие изгибающего момента (то есть из равенства равнодействующих в сжатом бетоне и растянутой арматуре).

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 7.16 К расчету наклонного сечения на действие момента (схема 1)

Во второй схеме ситуация меняется на противоположную: сжатие испытывает нижняя часть балки, а растягивающие усилия воспринимает арматура верхней зоны. Принципиального отличия от схемы 1 (рис. 7.16) здесь нет: моменты собираются относительно точки \(O\):

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 7.17 К расчету наклонного сечения на действие момента (схема 2)

Моменты несущей способности определяем по следующим формулам:

\({M_s} = {N_s}{z_s};\quad {M_{sw}} = 0,5{Q_{sw}}c\), (7.20)

где

  • \({N_s}\) — усилие в растянутой арматуре, принимаемое равным \({R_s}{A_s}\), кН;
  • \({z_s}\) — плечо внутренней пары сил, мм;
  • \({Q_{sw}}\) — усилие в хомутах, равное \({q_{sw}}c\), кН.

Как выбирать наклонные сечения

Как Вы уже догадались, нет единственно правильной проверки по наклонным сечениям, в отличие от проверок по сечениям нормальным (например, на действие изгибающего момента). Это происходит вследствие того, что мы заранее не знаем, по какой траектории пойдет развитие наклонной трещины и когда конструкция потеряет несущую способность. Чтобы максимально обезопасить сооружение от такого фатального сценария, следует выполнить ряд проверок для различных наклонных сечений.

Так, согласно нормам проектирования СНиП [1], длина проекции наклонного сечения должна находиться в пределах

\(1,0{h_0} \le c \le 2,0{h_0}\). (7.21)

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 7.18 К определению геометрии наклонного сечения

Угол наклонного сечения \(\alpha \) при этом не нормируется, так как зависит от горизонтальной проекции сечения \(c\) и высоты балки.

Начало сечения следует выбирать на расстоянии не ближе, чем \({h_0}\) от опоры. В противном случае могут накладываться дополнительные требования норм [1].

Конец наклонного сечения не должен попадать в зону действия максимальных изгибающих моментов. Таким образом, для балки на двух опорах расстояние \(C\) не должно превышать половины пролета.

Наклонные сечения также следует анализировать в местах обрыва продольной арматуры.

Выводы

Проверка прочности наклонного сечения относится к первой группе предельных состояний железобетонной конструкции. Невыполнение данных условий чревато фатальными последствиями и разрушением здания.

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Суть расчетов сводится к тому, что усилия от внешней нагрузки не должны превышать соответствующих усилий в элементах конструкции (несущей способности). Важную роль при этом играет поперечная арматура: хомуты, отгибы, оттяжки.

Если какая-либо из проверок прочности не выполняется, следует перепроектировать конструкцию: увеличить сечение бетона или арматуры, изменить шаг хомутов или геометрию отгибов, и т. п.

В этот раз мы говорили преимущественно о расчете, но не упомянули о конструктивных требованиях к поперечной арматуре, анкеровке, отгибам, шагу хомутов и пр. Эти требования следует соблюдать в соответствии с нормами проектирования, актуальными для Вашего проекта.

Источники информации

  1. Свод правил СП 63.13330.2012. Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения. Актуализированная редакция СНиП 52-01-2003 / НИИЖБ им. А. А. Гвоздева. - М.: 2011. - 156 с.
  2. Проектирование и расчет железобетонных и каменных конструкций: Учеб. для строит. спец. вузов / Н. Н. Попов, А. В. Забегаев. - М.: Высш. шк., 1989. - 400 с.
  3. Eurocode 3: Design of steel structures. Part 1-1: General rules and rules for buildings / EN 1993-1-1:2005 (Національний стандарт України ДСТУ-Н Б EN 1993-1-1:2010 Єврокод 3: Проектування сталевих конструкцій. Частина 1-1. Загальні правила і правила для споруд / - К.: Мінрегіонбуд України, 2011. - 150 с.)
  4. Свод правил СП 16.13330.2011. Стальные конструкции. Актуализированная редакция СНиП II-23-81* / ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко. - М.: Минрегионразвития, 2011. - 173 с.
  5. EN 1990 Eurocode — Basis of structural design (Єврокод: Основи проектування конструкцій. Настанова / Національний стандарт України ДСТУ-Н Б В.1.2-13:2008 (EN 1990:2002, IDN) / - К.: Мінрегіонбуд України, 2009. - 204 с.)
  6. СНиП 2.05.03-84*. Мосты и трубы / - М.: ЦИТП Госстроя СССР, 1985. - 200 с.
  7. Свод правил СП 20.13330.2011. Нагрузки и воздействия. Актуализированная редакция СНиП 2.01.07-85* / ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко. - М.: Минрегионразвития, 2011. - 96 с.

Скачать бесплатно из каталога Dystlab

Комментарии   

0 # Идрис 17.08.2017 05:58
Здравствуйте! А как найти расстояние "с" по рисунку 7.16 (7.17)? Спасибо
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
+2 # Виталий 19.08.2017 08:27
Вам нужно найти центр тяжести сжатой зоны (точка О), провести через нее вертикальную линию. Расстояние "c" будет от точки пересечения этой вертикальной линии с наклонным сечением до точки пересечения наклонного сечения с арматурой
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
+1 # Виталий 14.06.2017 19:10
Исправлена формула 7.12: вместо φb1 правильно писать φb2
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
+1 # Виталий 03.06.2017 08:52
Присоединяйтесь к группе "Расчет строительных конструкций с нуля" в нашем Сообществе:
community.dystlab.com/.../...
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
+3 # Кирилл 23.05.2017 19:20
Благодарю! Очень хорошо все объяснено, все по полочкам так сказать!)
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать

Под статьей | Случайные статьи по инженерии