Умный поиск

Геометрические характеристики плоских сечений

Единственной геометрической характеристикой поперечного сечения стержня, от которой зависят его прочность и жесткость при растяжении или сжатии, является площадь. Форма сечения при этом не имеет значения; однако, это свойство относится только к растяжению или сжатию. При более сложных видах деформирования существенной является не только (и НЕ столько) площадь сечения, сколько его форма.

Например, при изгибе двух консольных балок с одинаковой площадью поперечного сечения \(A = b \cdot h\) вполне очевидно, что одна из них (рисунок 1, а) оказывает большее сопротивление нагрузке \(F\), чем другая (рисунок 1, б):

Геометрические характеристики плоских сечений | Dystlab Library

Рисунок 1. Изгиб консольной балки: а — более жесткая конструкция; б — менее жесткая конструкция

При кручении, стержень круглого сечения (рисунок 2, а) сопротивляется нагрузке значительно лучше, чем стержень прямоугольного сечения (б), если площади поперечных сечений стержней одинаковы:

\[A = \frac{{\pi {d^2}}}{4} = bh.\]

Геометрические характеристики плоских сечений | Dystlab Library

Рисунок 2. Кручение консольной балки (а — круглого сечения; б — прямоугольного сечения)

Напрашивается вывод: существуют другие (более сложные, чем площадь) геометрические характеристики поперечных сечений, от которых зависит сопротивление стержня действию нагрузки. Рассмотрим их.

Статический момент. Центр тяжести сечения

Как известно, координаты центра тяжести плоской фигуры (см. Теоретическую механику, раздел "Статика") определяются по формулам:

\({Z_c} = \frac{{\sum {{z_i} \cdot {A_i}} }}{A};\quad {Y_c} = \frac{{\sum {{y_i} \cdot {A_i}} }}{A},\)

где \({A_i}\) — площадь i-й элементарной фигуры; \(A = \sum {{A_i}} \) — площадь всей фигуры; \({z_i},\;{y_i}\) — координаты центра тяжести i-й элементарной фигуры; \(C\) — центр тяжести всей фигуры; \({z_c},\;{y_c}\) — координаты центра тяжести всей фигуры:

Геометрические характеристики плоских сечений | Dystlab Library

Рисунок 3. Пример разделения поперечного сечения балки на элементарные участки

Как направлять оси координат?

Направление осей в системе координат принципиальной роли не играет. Как говорил классик, «оси — наши, как хотим — так и направляем».

Обозначения осей на рисунке 3 можно объяснить так: при изгибе продольная ось балки (стержня) обычно обозначается буквой \(x\), тогда оси поперечного сечения соответственно будут \(y,\;z\). Ось \(y\) — ось прогибов балки; прогиб считается положительным, если направлен вниз, поэтому ось \(y\) также направлена вниз.

Статический момент

По аналогии с моментом силы, произведение \({z_i}{A_i}\) называется моментом площади, или статическим моментом элементарной площади \({A_i}\) относительно оси \(y\). Тогда величина \(\sum {{z_i}{A_i}}  = {S_y}\) будет статическим моментом всего сечения относительно оси \(y\), а величина \(\sum {{y_i}{A_i}}  = {S_z}\) — статическим моментом сечения относительно оси \(z\).

В общем случае:

\[\mathop {\lim }\limits_{\Delta {A_i} \to 0} \sum {{y_i}{A_i}}  = \int\limits_A {y \cdot dA}  = {S_z};\quad \mathop {\lim }\limits_{\Delta {A_i} \to 0} \sum {{z_i}{A_i}}  = \int\limits_A {z \cdot dA}  = {S_y}.\]

Это — общие формулы для определения статических моментов. Статический момент выражается в единицах длины в третьей степени (см3, дм3, м3). Он может быть как положительным, так и отрицательным.

Центр тяжести

Таким образом, имеем формулы для определения центра тяжести всего сечения:

\({y_c} = \frac{{{S_z}}}{A};\quad {z_c} = \frac{{{S_y}}}{A},\)

откуда \({S_y} = {z_c}A;\;{S_z} = {y_c}A\).

Центральные оси

Если оси проходят через центр тяжести (на рисунке 3 это оси \({y_c},\;{z_c}\)), то статические моменты будут равны нулю. Такие оси называют центральными.

Моменты инерции

Осевой, полярный, центробежный моменты инерции — основные геометрические характеристики поперечных сечений, используемые в расчетах на изгиб и кручение. Все моменты инерции выражаются в единицах длины в четвертой степени (см4, дм4, м4).

Осевой момент инерции

Осевым (экваториальным) моментом инерции плоской фигуры относительно оси \(z\) называется определенный интеграл \({I_z} = \int\limits_A {{y^2}dA} \), а относительно оси \(y\) — интеграл \({I_y} = \int\limits_A {{z^2}dA} \).

Полярный момент

Полярным моментом инерции плоской фигуры относительно полюса \(O\) (рисунок 4) называют определенный интеграл \({I_p} = \int\limits_A {{\rho ^2}dA} \), где \(\rho  = \sqrt {{z^2} + {y^2}} \) — радиус-вектор площадки \(dA\).

Геометрические характеристики плоских сечений | Dystlab Library

Рисунок 4. К определению полярного момента инерции

Поскольку \({\rho ^2} = {z^2} + {y^2}\), то \({I_p} = {I_y} + {I_z}\).

Центробежный момент инерции

Центробежным моментом инерции фигуры относительно осей \(y,\;z\) называется определенный интеграл \({I_{zy}} = \int\limits_A {z \cdot y \cdot dA} \).

Знаки моментов инерции

Как видим, осевые и полярные моменты инерции могут получать только положительные значения, т. е. будут со знаком «+», так как под знаком интеграла координата \(y,\;z\) входит во второй степени. Центробежные же моменты инерции могут быть как положительными, так и отрицательными, так как произведение двух координат со своими знаками может быть в различном сочетании (в зависимости от расположения осей фигуры); они также могут равняться нулю.

Главные оси

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции. Если главные оси проходят через центр тяжести фигуры, то они называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.


Александр Заболотный — старший научный сотрудник, исследователь

Под статьей | Случайные статьи по инженерии